4. 光线追踪

渲染是一个将输入对象进行处理、变成输出像素数组的过程。

有两种渲染方式：

• “object-order rendering”：每个对象依次被处理，所有被该对象影响的像素将会被查找并更新。
• “image-order randering”：每个像素依次被处理，所有影响到该像素的对象将会被找到并计算。

这两种方式都可以精确地获得完全相同的图像，但其计算的效果与性能十分不同。宽泛地来说，image-order rendering方式更容易跑起来，在可实现的视觉效果上也更灵活，并且在生成一张差不多的图像上经常（并非总是）占用更多的执行时间。

光线追踪是一种渲染3D场景的"image-order"算法，我们首先考虑它是因为，可以不用开发任何"object-order"渲染所需的数学工具。

4.1 基础光线追踪算法

光线追踪器的三个部分：

1. 射线生成：计算每个像素基于相机几何的视射线的原点与方向。
2. 射线求交：找到视射线的最近相交物体。
3. 着色：基于射线相交结果，计算像素颜色。

基础光线追踪程序结构：

for each pixel do
  compute viewing ray
  find first object hit by ray and its surface normal n
  set pixel color to value computed from hit point, lights, and n

4.2 透视

将3D物体/场景展示在一个2D图片上，有许多不同的方式：

线性透视(Linear Perspective)：场景中的直线在图片中仍是直线。
平行透视(Parallel Projection)：3D点将被移动到其2D投影位置上。

平行透视中有两种情况：当投影平面与视方向垂直时，这种投影称为正交投影(Orthographic)，否则称为斜投影(Oblique)

平行透视常被用于机械、建筑制图中，因为它使3D场景中的平行线投影后仍然平行，且能保证与投影平面平行的物体尺寸不变。
但其缺点是未遵循人眼直觉中的“近大远小”，使得平行线“看起来不平行”。

**透视投影(Perspective Projection)**是一种计算透视的数学方法，它可以产生符合人眼直觉的图像。

4.3 计算视射线

从人眼\(e\)出发、经过一点\(s\)的射线可由下式表示：

$$\textbf{p}(t)=\textbf{e}+t(\textbf{s}-\textbf{e})$$

一个面向对象的程序中，我们可能会这样表示：

class Ray
    Vect3 o | ray origin
    Vect3 d | ray direction
    Vect3 evaluate(real t)
        return o + t*d

相机坐标系：\(\textbf{e}\)作为原点，视线方向为\(-\textbf{w}\)，“上方”向量(up vector)为\(\textbf{v}\)，可构造右手坐标系的三个基向量\(\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w}\)。

4.3.1 正交视图

在正交视图中，所有射线都朝向\(-\textbf{w}\)。尽管平行视图中不存在视点(Viewpoint)，我们仍然可以使用相机坐标系。

图像位置由四个参数定义：l，r，b，t 分别表示图像左边线、右边线的坐标位置（\(\textbf{u}\)坐标分量），下边线、上边线的坐标位置(\(\textbf{v}\)坐标分量)。
通常 \(l < 0 < r\) 且 \(b < 0 < t \) 。

在相机坐标系下，图片像素\((i,j)\)的坐标可按下式计算：

$$u=l+(r-l)(i+0.5)/n_x$$

$$v=b+(t-b)(j+0.5)/n_y$$

在正交视图中，可以把图片像素位置当做射线原点，正交视图下的射线生成如下：

compute u and v of a pixel
ray.\(\textbf{o}\) ← \(\textbf{e}\) + u\(\textbf{u}\)+v\(\textbf{v}\)
ray.\(\textbf{d}\) ← -\(\textbf{w}\)

(译注：按个人理解，\(e\)的绝对位置不重要，只要保证它不穿越到图片另一侧。射线起点在每个像素位置上)

要实现斜平行视图，只需要将图片平面法向\(\textbf{w}\)与射线方向\(\textbf{d}\)分开处理即可。

4.3.2 透视视图

图片平面距离/焦距(Image Plane Distance)：视点到图片平面的距离。

射线计算过程：

compute u and v of a pixel
ray.\(\textbf{o}\) ← \(\textbf{e}\)
ray.\(\textbf{d}\) ← -d\(\textbf{w}\) + u\(\textbf{u}\)+v\(\textbf{v}\)

和平行投影一样，斜透视视图可以通过将图片法向与投影方向分开处理来实现。

（译注：在什么情况下会使用斜透视？）

4.4 射线-物体求交

4.4.1 射线与球相交

给定一条射线 \(\textbf{p}(t)=\textbf{e}+t\textbf{d}\) 以及一个隐式表面 \(f(\textbf{p})=0\)，其交点的t值可用如下方程计算：

$$f(\textbf{p}(t))=0 \quad or \quad f(\textbf{e}+t\textbf{d})=0$$

球心为 \(\textbf{c}=(x_c,y_c,z_c)\)、半径为\(R\)的球面方程为：

$$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2+(z-z_c)^2-R^2=0$$

或者以向量表示：

$$(\textbf{p}-\textbf{c})\cdot(\textbf{p}-\textbf{c})-R^2=0$$

$$\Rightarrow(\textbf{e}+t\textbf{d}-\textbf{c})\cdot(\textbf{e}+t\textbf{d}-\textbf{c})-R^2=0$$

$$\Rightarrow(\textbf{d}\cdot\textbf{d})t^2+2\textbf{d}\cdot(\textbf{e}-\textbf{c})t+(\textbf{e}-\textbf{c})\cdot(\textbf{e}-\textbf{c})-R^2=0$$

这是一个二次方程，其解为：

$$t=\frac{-\textbf{d}\cdot(\textbf{e}-\textbf{c})\pm\sqrt{(\textbf{d}\cdot(\textbf{e}-\textbf{c}))^2-(\textbf{d}\cdot\textbf{d})((\textbf{e}-\textbf{c})\cdot(\textbf{e}-\textbf{c})-R^2)}}{(\textbf{d}\cdot\textbf{d})}$$

在实际实现中，你应该首先检查其判别式(discriminant)，以确定有几个解。

交点\(\textbf{p}\)上的法向量可以通过梯度计算：

$$\textbf{n}=2(\textbf{p}-\textbf{c})$$

其单位法向量为:

$$(\textbf{p}-\textbf{c})/R$$

4.4.2 射线与三角形相交

射线与参数曲面相交，其笛卡尔坐标满足：

$$\left. \begin{matrix} x_e+tx_d=f(u,v)\\ y_e+ty_d=g(u,v)\\ z_e+tz_d=h(u,v) \end{matrix} \right\}\quad \mathrm{or,} \quad \textbf{e}+t\textbf{d}=\textbf{f}(u,v)$$

在本节中三角形顶点为\(a\)，\(b\)和\(c\)一个参数平面，使用 2.9.2节 的向量形式表示，则交点满足：

$$\textbf{e}+t\textbf{d}=\textbf{a}+\beta(\textbf{b}-\textbf{a})+\gamma(\textbf{c}-\textbf{a})$$

当且仅当\(\beta>0\)，\(\gamma>0\)且\(\beta+\gamma<1\)时交点位于三角形内。